Prozentrechnung: Formeln und Beispiele
Die wichtigsten Formeln, wie man sie umstellt und wofür man sie braucht – zum Nachschlagen und Ausdrucken.
Bezeichnungen: G = Grundwert (100 %), W = Prozentwert, p = Prozentsatz (als Zahl ohne %-Zeichen). Jede Formel ist mit einem Beispiel versehen, das mit demselben Rechenkern berechnet wurde wie der Prozentrechner.
Die drei Grundformeln
| gesucht | Formel | Beispiel | Rechner |
|---|---|---|---|
| Prozentwert W | W = G · p / 100 | G = 640, p = 15 → W = 96 | Prozentwert |
| Prozentsatz p | p = W / G · 100 | W = 96, G = 640 → p = 15 | Prozentsatz |
| Grundwert G | G = W · 100 / p | W = 96, p = 15 → G = 640 | Grundwert |
Alle drei Formeln sind Umstellungen derselben Gleichung W / G = p / 100: „Teil durch Ganzes“ ist gleich „Prozentsatz durch hundert“. Wer sich nur diese eine Gleichung merkt, kann jede Größe durch Umstellen gewinnen.
Mit dem Dezimalfaktor rechnen
Schreibt man den Prozentsatz als Dezimalzahl (p / 100), werden die Formeln kürzer:
| Prozent | Dezimal | Prozent | Dezimal |
|---|---|---|---|
| 1 % | 0,01 | 50 % | 0,5 |
| 7 % | 0,07 | 75 % | 0,75 |
| 12,5 % | 0,125 | 100 % | 1 |
| 19 % | 0,19 | 120 % | 1,2 |
Bei 15 % rechnet man dann einfach W = G · 0,15 statt W = G · 15 / 100.
Vermehrter und verminderter Grundwert
Wird ein Wert um p % erhöht oder vermindert, rechnet man mit einem Faktor q: dem Wachstumsfaktor (q = 1 + p/100) bzw. dem Abnahmefaktor (q = 1 − p/100).
| Situation | Formel | Beispiel mit G = 640, p = 15 |
|---|---|---|
| Erhöhung um p % | G⁺ = G · (1 + p / 100) | 640 · 1,15 = 736 |
| Verminderung um p % | G⁻ = G · (1 − p / 100) | 640 · 0,85 = 544 |
| Grundwert aus erhöhtem Wert | G = G⁺ / (1 + p / 100) | 736 / 1,15 = 640 |
| Grundwert aus vermindertem Wert | G = G⁻ / (1 − p / 100) | 544 / 0,85 = 640 |
| mehrere Änderungen nacheinander | G · q₁ · q₂ · … | 640 · 1,15 · 0,85 = 625,6 |
Die letzte Zeile zeigt: +15 % und danach −15 % ergeben nicht wieder 640, sondern 625,6 – ein Minus von 2,25 %, denn 1,15 · 0,85 = 0,9775.
Prozentuale Veränderung und Differenz
| gesucht | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Veränderung von alt auf neu | (neu − alt) / alt · 100 | 640 → 720: +12,5 % |
| Differenz zweier Prozentsätze | p₂ − p₁ (Prozentpunkte) | 12 % → 15 %: 3 Prozentpunkte |
| Gesamtrabatt bei zwei Rabatten | (1 − (1 − r₁/100)(1 − r₂/100)) · 100 | 20 % und 10 %: 28 % |
Formeln aus Alltag und Wirtschaft
| Anwendung | Formel | Rechner |
|---|---|---|
| Endpreis nach Rabatt | Preis · (1 − Rabatt / 100) | Rabattrechner |
| Brutto aus Netto | Netto · (1 + Steuersatz / 100) | Mehrwertsteuerrechner |
| Netto aus Brutto | Brutto / (1 + Steuersatz / 100) | Mehrwertsteuerrechner |
| Jahreszinsen | Kapital · Zinssatz / 100 | Prozentwert |
| Aufschlag auf Einkaufspreis | (Verkauf − Einkauf) / Einkauf · 100 | Veränderung |
| Handelsspanne (Marge) | (Verkauf − Einkauf) / Verkauf · 100 | Prozentsatz |
Aufschlag und Marge werden oft verwechselt: Bei Einkauf 80 € und Verkauf 100 € beträgt der Aufschlag 25 % (bezogen auf den Einkauf), die Marge aber 20 % (bezogen auf den Verkauf).
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Passende Rechner und Erklärungen
Häufige Fragen
Welche Formeln gibt es in der Prozentrechnung?
Die drei Grundformeln sind W = G · p / 100 (Prozentwert), p = W / G · 100 (Prozentsatz) und G = W · 100 / p (Grundwert). Dazu kommen die Formeln für vermehrten und verminderten Grundwert mit dem Faktor (1 ± p / 100).
Wie stelle ich die Prozentformel um?
Gehen Sie von W / G = p / 100 aus. Nach W: beide Seiten mal G. Nach p: beide Seiten mal 100. Nach G: Kehrwerte bilden und mit W multiplizieren.
Was ist der Wachstumsfaktor?
Der Faktor, mit dem man einen Wert multipliziert, um ihn um p % zu ändern: 1 + p / 100 bei einer Erhöhung, 1 − p / 100 bei einer Verminderung. Bei +15 % ist er 1,15, bei −15 % 0,85.